De entrée van Kurt Gödel in de wiskunde is eén van de meest dramatische gebeurtenissen uit de geschiedenis van de wetenschap. In 1928 hield de Duitse wiskundige David Hilbert een voordracht op het wiskunde congres in Bologna, waarin hij de vier grote onopgeloste problemen van het wiskundige grondslagenonderzoek van zijn tijd uiteenzette. Hilbert was de grote man van dit onderzoek. In Bologna voerde hij een delegatie van maar liefst 67 Duitse wiskundigen aan, die allemaal hetzelfde doel nastreefden als hij: de wiskunde moest volledig op één axiomatische basis worden gefundeerd, en het moest worden aangetoond dat die basis niet tot tegenspraken leidt. Hilberts lezing was de culminatie van dertig jaar werk, en de reacties waren daverend enthousiast: zijn lezing werd voorafgegaan en gevolgd door een ovationeel applaus zoals dat op wiskundige congressen zelden wordt gehoord.G.J.C. Lokhorst. Recensie van H. Wang, Reflections on Kurt Gödel. NRC Handelsblad, Zaterdags Boekenbijvoegsel, p. 2, March 26, 1988. ISSN 0002-5259.
Nog geen twee jaar later had de 24-jarige Kurt Gödel alle vier problemen van Hilbert definitief opgelost. De oplossing was volslagen onverwacht en de doodsteek voor Hilberts programma. Gödel liet zien dat een axiomatische basis voor de wiskunde nooit volledig kan zijn; welke basis men ook verzint, er zullen altijd wiskundige waarheden zijn die niet uit de axioma's bewezen kunnen worden. Bovendien is het nooit te bewijzen dat de basis consistent is. Hilberts doel bleek een fata morgana te zijn.
Samen met Einstein geldt Gödel als het grootste genie van onze eeuw. Maar terwijl iedereen alles van het leven van Einstein lijkt te weten, is er over Gödel veel minder bekend. Zelfs in Hofstadters 777 bladzijden tellende Gödel, Escher, Bach zijn geen biografische details te vinden. Dit heeft de van oorsprong Chinese wiskundige Hao Wang nu eindelijk rechtgezet. Hij was de aangewezen man om dit te doen: Wang is één van de weinige wiskundigen die met Gödel hebben samengewerkt en hem persoonlijk hebben gekend. Gödel heeft zelfs een gedeelte van een eerder boek van Wang geschreven. Wangs biografie, die nog door een tweede deel zal worden gevolgd, geeft niet alleen de feiten over het leven van Gödel, maar bespreekt ook de filosofische en theologische ideeën waar Gödel zijn hele leven lang mee worstelde.
Gödel werd op 28 april 1906 in Brünn (het tegenwoordig Brno in Tsjechoslowakije) geboren, de stad waar ook de geneticus Mendel het grootste deel van zijn leven doorbracht. Gödels vader was een welvarende directeur van een textielfabriek, zijn moeder een ontwikkelde vrouw. De kleine Kurt had een vier jaar oudere broer, Rudolf. Het gezin was harmonieus en gelukkig. De kleine "Kurtele" was reeds als kleuter zo nieuwsgierig dat zijn familie hem "der Herr Warum" noemde; als de rest van het gezin ging wandelen, las hij liever een boek.
Einstein deed het niet slecht op school, maar Gödel was vrijwel perfect. Zijn schoolschriften waren toonbeelden van netheid. Zowel op de lagere school als op het gymnasium haalde Gödel in alle vakken uitsluitend tienen, op één keer na (nota bene in de wiskunde). Merkwaardigerwijs had hij eerst een speciale voorliefde voor theologie en de alfa-vakken (vooral Latijn); pas op zijn veertiende kreeg hij belangstelling voor de wiskunde.
Op zijn achttiende ging Gödel naar Wenen, waar hij bij zijn broer, die medicijnen studeerde, introk, en theoretische natuurkunde begon te studeren. Hij schakelde al snel over op de wiskunde vanwege de grotere precisie van dat vak. Gödel leidde een bewogen leven. Hij luisterde graag naar de discussies in de Wiener Kreis, hoewel hij niets voor de opvattingen van de positivisten voelde en geen waardering kon opbrengen voor hun evangelie, Wittgensteins Tractatus.
In dit stimulerende milieu bewees Gödel in de zomer van 1929 zijn eerste belangrijke stelling: de gangbare axiomatisering van de elementaire logica is volledig. Alle geldige uitspraken kunnen ook werkelijk op grond van de axioma's worden bewezen. Dit was een fraai en degelijk resultaat, waarop Gödel het volgende jaar promoveerde, maar iedereen had het eigenlijk al jaren zien aankomen.
In de zomer van 1930 ontdekte Gödel echter tot ieders verbazing en Hilberts chagrijn dat het met de rekenkunde heel anders is gesteld. Ieder axiomastelsel voor de rekenkunde is noodzakelijkerwijze onvolledig; geen enkel stelsel kan alle rekenkundige waarheden opleveren. Het meest markante voorbeeld van zo'n uitspraak die niet bewezen kan worden is de rekenkundige vertaling van de bewering dat de rekenkunde vrij is van tegenspraken. Gödels resultaat geldt niet alleen voor de rekenkunde, maar ook voor alle theorieën die haar bevatten: ook in de natuurkunde, scheikunde en economie is de waarheid niet restloos in axioma's vast te leggen en kan consistentie niet worden bewezen.
Hiermee had de jonge Gödel de vier door Hilbert genoemde problemen opgelost en diens programma abrupt afgebroken. Gödels inzichten waren de diepste die sinds lange tijd bereikt waren en maakten hem meteen beroemd onder de specialisten. Ze leverden hem zijn Habilitationsschrift en eerste betrekking op: in 1933 werd hij Privatdozent aan de Universiteit van Wenen. Jaar in, jaar uit gaf de jonge geleerde daar onderwijs en publiceerde hij scherpzinnige korte notities, maar hij verdiende er niets mee. Een Privatdozent werd niet betaald. Universiteiten waren in die tijd alleen bestemd voor de ware liefhebbers; wie iets wilde verdienen ging maar naar de industrie, iets dat Gödel ook overwoog.
Ondertussen had Gödel ook zijn toekomstige vrouw leren kennen. Ze was zes jaar ouder dan hij, niet bijzonder ontwikkeld, werkte als danseres in een nachtclub en was met een kunstschilder getrouwd. De familie keurde hun relatie af, en met zijn ontzag voor autoriteit legde Gödel zich bij hun oordeel neer. Dit deed hem geen goed. Zijn gezondheid, die altijd al zwak was geweest, werd steeds slechter, hij liep met zelfmoordplannen rond en werd meerdere malen in sanatoria opgenomen. De familie schikte zich in 1938 in het onvermijdelijke, en Gödel trouwde met de inmiddels gescheiden Adèle. Ze schijnen tot hun dood gelukkig met elkaar te zijn geweest.
Was dit probleem overwonnen, nu doemden er weer andere moeilijkheden op. Omdat hij niets verdiende ging Gödels financiële positie er niet op vooruit. In 1939 werd de functie van Privatdozent opgeheven en werd Gödel door het militaire apparaat aangewezen voor garnizoensdienst. In 1940 liep hij op eens op straat en sloegen een paar Nazi's zijn bril van zijn hoofd. Dit kon zo niet langer doorgaan. Met tegenzin reisde Gödel via Rusland en Japan naar het Institute for Advanced Studies te Princeton, waar hij tot zijn dood zou blijven.
In Princeton raakte Gödel zeer goed bevriend met Einstein. De twee mannen, die dezelfde achtergrond hadden, discussiëerden vrijwel dagelijks over de meest uiteenlopende kwesties. "Mijn eigen werk betekent niet veel meer voor me", zei Einstein eens tegen een vriend. "Ik ga alleen nog maar naar het Instituut om met Gödel te kunnen praten." Einstein en Gödel waren het zelden eens. Gödel meende bijvoorbeeld dat de loop van de gebeurtenissen in de wereld volstrekt rationeel en noodzakelijk is; niets gebeurt door toeval of domheid. Hier kon Einstein alleen maar om lachen. Einstein raakte slechts één keer geïrriteerd. "Gödel is nu helemaal gek geworden", mopperde hij tegen zijn assistent. "Hij heeft op Eisenhower gestemd!"
Wang vertelt dat er ook een "nonconversationele interactie" was. Gödels vrouw breide een wollen vest voor Einsteins verjaardag en Einstein verraste de Gödels met een mooie bloemenvaas toen ze een nieuw huis betrokken. Dit soort gebeurtenissen zijn tekenend voor het rustige burgermansleven dat Gödel met zijn vrouw leidde. Thuis werd er over weinig anders gesproken dan over de tuin, de familie en de besteding van de zondagmiddag. De Gödels waren zuinig, gingen met weinig mensen om en hadden geen auto en geen kinderen. Gödel had een uitgesproken hekel aan reizen. Zijn vrouw ging meestal alleen op vakantie, en hij heeft Europa nooit meer bezocht. Met zijn oude moeder in Wenen hield hij contact via talloze, steeds langer wordende brieven. Het ereburgerschap van Wenen wees hij meermalen af omdat hij tegen de reis opzag, hoewel zijn bescheidenheid hierbij misschien ook een rol speelde. (Zijn broer Rudolf hoorde pas op hoge leeftijd van kennissen dat Kurt iets betekende in de wetenschap.)
In Princeton bleef Gödel aanvankelijk in de wiskunde doorwerken. In de zomer van 1937 had hij het probleem hoeveel punten er op een lijn liggen (het "continuum-probleem") voor een deel opgelost. In de daaropvolgende jaren probeerde hij zijn oplossing uit te breiden. Hoewel hij al doende tot vele belangrijke resultaten kwam, lukte het hem niet het einddoel te bereiken. Gödel publiceerde steeds minder, en in 1942 kreeg hij er definitief genoeg van. De logica was hem te inspannend geworden. Dit zien we vaker bij de grote logici: ook Russell bijvoorbeeld was door de Principia Mathematica zo uitgeput dat hij al spoedig daarna met dit vak ophield. Gek genoeg werd Gödel pas in 1953 professor, toen hij al lang met zijn eigenlijke werk was opgehouden.
Vanaf 1942 zou Gödel zich steeds meer met de filosofische ideeën bezighouden die tot zijn inzichten hadden geleid. Hij verdiepte zich eerst nog in een oude hobby waar hij op het gymnasium al een verhandeling over had geschreven, de relativiteitstheorie. Ook hier bereikte hij meteen nieuwe resultaten. Zo bewees hij dat er volgens deze theorie "roterende universa" kunnen bestaan, waarin men met een raket vrijelijk door de tijd kan reizen. Heden, verleden en toekomst zijn in deze werelden slechts illusies--hetgeen ze volgens Gödel in onze wereld ook zijn. De tijd bestaat niet werkelijk, maar is een zinsbegoocheling die voortkomt uit ons beperkte menselijke waarnemingsvermogen. Dit was natuurlijk geen nieuw idee; de idealistische filosofen hebben dit vanouds beweerd. Maar volgens Gödel was hun opvatting nu voor het eerst rigoureus bewezen. Gödels ontdekking dat het mogelijk is om in de tijd te reizen wekte bij het grote publiek meer verbazing dan al zijn logische werk: pas hiermee haalde hij de voorpagina van de New York Times.
Na dit uitstapje zonk Gödel echter dieper en dieper weg in de filosofie en theologie. Hij identificeerde zich vooral met Leibniz, maar voelde zich ook tot de latere Husserl aangetrokken. Duizenden pagina's handgeschreven notities waren het resultaat. Omdat ze in Gabelsberger steno zijn geschreven heeft niemand ze nog gelezen, ook Wang niet. De uitkomsten lijken echter weinig tastbaar te zijn. Gödel streefde in de filosofie naar dezelfde heldere en definitieve conclusies als hij in de wiskunde had bereikt, maar deze waren daarin simpelweg niet te vinden.
De meeste overwegingen hadden betrekking op de realiteit van wiskundige abstracties, zoals oneindige getallen. Gödel was de extreemste Platonist die er ooit is geweest. In tegenstelling tot heden en toekomst waren wiskundige objecten volgens hem geen illusies. Het zijn werkelijk bestaande voorwerpen die zich in een onveranderlijk wiskundig universum ophouden. Met een speciaal zintuig, dat de hersenonderzoekers nog moeten ontdekken, slagen mensen er met meer of minder succes in de platonische hemel te aanschouwen.
Gödels meest concrete resultaat lijkt een wiskundig bewijs voor het bestaan van God te zijn. Dit bewijs wordt nog door de geleerden bestudeerd; men weet helaas nog niet of het steekhoudend is!
Gödel was een wereldvreemde, sombere man, die slecht op zijn plaats was in de Nieuwe Wereld. Zijn vrouw vond zijn broer, de arts, beter geslaagd in het leven. Door zijn scherpzinnigheid verspeelde Gödel zelfs bijna zijn kansen op het Amerikaanse staatsburgerschap. "Gelukkig kunnen de VS nooit zo'n dictator krijgen als Oostenrijk", merkte de rechter tijdens het mondelinge verhoor voor het staatsburgerschap op. "Excuseer me, edelachtbare, maar dat kan wel degelijk gebeuren!" riep Gödel uit. Het bleek dat hij zijn verhoor met zijn gebruikelijke nauwgezetheid had voorbereid en een maas in de grondwet had gevonden waardoor de VS langs legale weg in een dictatuur konden overgaan. Een interessante bijdrage aan de politicologie wellicht, maar dit was bepaald niet het geschikte moment om haar uiteen te zetten! Einstein en Morgenstern konden de zaak nog maar net redden.
Gödels kunstzinnige smaak stond in merkwaardig contrast met zijn serieuze, legalistische inslag. Hij had belangstelling voor abstracte kunst, maar in de muziek hield hij alleen van het lichte genre dat zijn moeder hem in zijn jeugd op de piano had voorgespeeld, zoals Weense walsen, Spaanse dansmuziek en Carmen van Bizet. De televisie stond regelmatig bij hem aan. De films die hij het meest waardeerde waren die van Walt Disney, in het bijzonder Sneeuwwitje.
Gödels einde was niet minder eigenaardig. Door de jaren heen was hij al steeds magerder geworden; hij had het altijd koud en hij had zijn belangrijke ideeën altijd uitsluitend in buitengewoon hete zomers gekregen. In 1977 was zijn vrouw om gezondheidsredenen een paar maanden van huis. Wanneer zij er niet was, at hij alleen maar af en toe een ei. Deze keer werd hem dat fataal. Verward en in de mening dat men hem wilde vergiftigen stierf hij op 14 januari 1978 aan uitputting en ondervoeding, 71 jaar oud en met een gewicht van nog geen dertig kilo. Een jaar later verscheen Gödel, Escher, Bach, het boek dat zijn naam op ieders lippen bracht.
Previous | Up | Next
gjclokhorst@gmail.com || July 17, 2015 || HTML 4.01 Strict