"Wolken zijn geen bollen, bergen zijn geen kegels, kustlijnen zijn geen cirkels, boomschors is niet glad en de bliksem volgt geen rechte lijn." Maar om welke meetkundige vormen gaat het dan wel?F. Eijgenraam & G.J.C. Lokhorst. De meetkunde van bergen, wolken en bomen. Interview met Benoît Mandelbrot. NRC Handelsblad, Bijlage Wetenschap en Onderwijs, p. 1, June 28, 1988. ISSN 0002-5259. Reprinted in: F. Eijgenraam. In dienst van de verwondering. Aramith, Bloemendaal, 1990, pp. 17-24, ISBN 90-6834-074-3.
Het antwoord wordt gegeven door de fractale wiskunde van Benoît Mandelbrot (64). Aanstaande vrijdag spreekt hij in Delft op het symposium Fractals and computed art.
"Ik kende eens een man die heel actief speculeerde. Volgens de aanvaarde economische theorieën leidde hij een volkomen veilig bestaan. De kans dat hij binnen een jaar bankroet zou gaan werd becijferd op één op de miljard. Volgens mijn berekeningen lag de kans eerder tussen de een op tien en de een op vijf. Mijn kennis geloofde me. Toen hij een paar maanden later inderdaad failliet ging was hij dus niet verbaasd."
Benoît Mandelbrot geniet zichtbaar van de anekdote. Het toepassen van wiskunde op situaties uit het dagelijks leven is zijn geliefde bezigheid. De economische theorie waarop Mandelbrot zijn advies baseerde, was heel simpel. Ze kwam direct voort uit zijn werk bij IBM in de jaren vijftig, toen hij ingenieurs hielp bij het verhelpen van storingen in telefoonlijnen. Mandelbrot ontdekte dat het patroon van de storingen altijd hetzelfde was, op welke tijdsschaal je ook keek. De storingen treden op in clusters en de verdeling daarvan is altijd gelijk, of je nu kijkt naar periodes van weken of van seconden. Op elk niveau bleek de verhouding tussen storingsperioden en storingsvrije perioden constant.
Bij aandelenkoersen, vond Mandelbrot, was het niet anders. Volgens de aanvaarde economische theorie zijn er relatief stabiele perioden, die om de zoveel jaren worden onderbroken door beurskrachs. Maar zo is het in werkelijkheid niet: de schijnbare continuïteit is het resultaat van tientallen wilde fluctuaties, `miniatuur-beurskrachs', die van dag tot dag gebeuren. Op elk willekeurig moment kan er dus een ramp plaatsvinden, zoals Mandelbrots kennis tot zijn schade ondervond.
Dit `Droste-effect' in het patroon van telefoonstoringen en economische ups en downs bracht Mandelbrot er toe om een studie te maken van meetkundige figuren met dezelfde eigenschappen. Men kan bijvoorbeeld denken aan zigzaglijnen waarvan iedere iedere zig en iedere zag ook weer een zigzaglijn is, tot in het oneindige toe. Dergelijke vormen worden beschreven door wiskundige functies die al sinds het begin van deze eeuw bekend zijn. Maar er was weinig belangstelling voor, omdat het oneindig veel tijd zou vergen om er één te tekenen. Niemand kon zich er dan ook een duidelijke voorstelling van maken. Mandelbrot was echter in een andere positie, hij had immers al voorbeelden van dergelijke figuren herkend. Bovendien beschikte hij, in tegenstelling tot zijn wiskundige voorgangers, over een instrument om ze aanschouwelijk te maken: hij werkte bij IBM, waar er in de avonduren veel computertijd over was.
Zo bracht hij als eerste eenheid in de studie van deze functies, die hij fractalen doopte. De beroemdste ontdekte hij in 1979: de Mandelbrot-verzameling. Het is een verzameling punten die het gevolg is van een eenvoudige wiskundige bewerking die oneindig vaak op zichzelf wordt toegepast (een zogeheten itererende functie). Het resultaat is een adembenemend filigrain van steeds kleiner terugkerende wervelingen, die met de telefoonstoringen gemeen hebben dat ze op elke willekeurige schaal identiek zijn. De laatste tien jaar bloeit de studie van fractalen in de wiskunde.
De belangstelling voor fractalen is niet in de laatste plaats zo groot, omdat er steeds meer voorbeelden van fractale structuren in de natuur worden gevonden. Mandelbrot benadrukte dat al in zijn boek The fractal geometry of nature uit 1977. Een voorbeeld is de kustlijn van Engeland, die op elk niveau inkepingen heeft en daardoor steeds langer wordt naarmate je hem nauwkeuriger meet. De `omtrek van Engeland' is daardoor een vage, ongedefinieerde grootheid; alleen een onsterfelijk persoon met een oneindig nauwkeurig meetlint zou hem kunnen bepalen.
Mandelbrot verbleef de afgelopen weken op verschillende plaatsen in Europa. In Bonn was hij te gast op het Max Planck Institut für Mathematik. Tussen twee werkbesprekingen door weidt hij graag uit over fractale structuren in de natuur. De boomlange, 100 kilo zware zestiger maakt een gemoedelijke indruk. Hij praat op gedempte, haast fluisterende toon. Hoewel hij al sinds de jaren vijftig in de Verenigde Staten woont, verraadt zijn Engels zijn Pools-Franse afkomst. Van de arrogantie en ijdelheid die hem door sommige van zijn collega's worden aangewreven, is maar weinig te bespeuren, op één ding na. Wanneer de fotograaf binnenkomt diept Mandelbrot onmiddellijk twee stropdassen en een zakkam uit zijn schoudertas op. ("Dat moet van mijn vrouw.")
Van de natuurverschijnselen waarop de fractale theorie wordt toegepast vindt Mandelbrot er twee uitzonderlijk belangrijk: turbulentie (vloeistof- en luchtwervelingen) en aggregatie (het aaneenklonteren van kleine deeltjes tot grotere gehelen, zoals stof- en roetdeeltjes). Mandelbrot: "Veel aspecten van turbulentie zijn fractaal. Neem het kielzog van een schip, dat heeft aan de grens allemaal waterwervelingen en de structuur is fractaal. Een ander voorbeeld is een luchtstroom die ergens tegenaan blaast. Ook daar hebben de wervelingen een hele rijke fractale vorm, die je kunt zien door fijn stof mee te laten waaien. Hetzelfde geldt voor veel wolken, die bestaan uit flarden op flarden op flarden. Of je nu uit een satelliet kijkt naar een wolk van tienduizend kilometer of vanuit een vliegtuig naar een wolkje van een meter, ze zien er precies eender uit, hoewel ze toch zeven orden van grootte (een factor 10 miljoen, red.) verschillen. Dat verschijnsel heet schaal-invariantie. Daarom kun je de afstand tot een wolk vanuit een vliegtuig nooit goed schatten.
"Ook bij windstoten zie je schaal-invariantie. Wat is een windstoot? Wat een grote stoot is voor een grof instrument zijn verschillende stoten voor een fijner instrument. Waar een jumbojet niets voelt zal een sportvliegtuigje meerdere klappen ervaren. Als je een periode van rust onder de loep neemt blijken er ook weer perioden van onrust in voor te komen.
"Het mooie aan turbulentie vind ik dat het zo'n oud probleem is. Fractale kenmerken zijn al heel lang geleden opgemerkt, bijvoorbeeld door Leonardo da Vinci. Hij tekende kolken in kolken in kolken, maar dit kon niet wiskundig worden geformuleerd voordat de fractale meekunde ten tonele verscheen.
"Niettemin blijft het raadsel van turbulentie compleet. Fermi en andere grote fysici waren ervan overtuigd dat veel grote mysteries van quantummechanica heel snel zouden worden opgelost, maar dat het turbulentieprobleem eeuwig zou blijven bestaan, omdat ze voelden dat het een echt beest is. Het is een open vraag hoe wervelingen te voorschijn komen uit de klassieke bewegingsvergelijkingen. Maar het is al een hele stap vooruit dat we nu de vorm ervan kunnen beschrijven.
"Fysici zijn altijd ongeduldig. Ze willen een vraagstuk graag in twee of drie jaar oplossen om daarna weer iets anders te kunnen doen. Dat is vaak mogelijk, maar de problemen die zich zo snel laten oplossen zijn meestal niet de fundamendeelste. Ik heb een voorliefde voor het gecompliceerde en het moeilijke.
"Het tweede verschijnsel dat ik heel opwindend vind is de vorming van samenklonteringen met behulp van hele simpele regels. Het is opmerkelijk dat je in een door toevallig aggregatieproces vanzelf fractale, dus ordelijke structuren krijgt. De verklaring is elegant. Stel, je begint met een willekeurig deeltje waar nieuwe deeltjes aan vastplakken. Aanvankelijk is de plaats waarop de deeltjes vastplakken helemaal toevallig. Het gevolg is dat er hier en daar uitstulpingen ontstaan. Als er nu nieuwe deeltjes aankomen is de kans dat ze aan een uitstulping vast gaan zitten groter dan dat ze in een `dal' zullen vallen, simpelweg omdat de uitstulping dichterbij is. Dit proces leidt tot de vorming van takken, die zich steeds verder en fijner vertakken. Het resultaat is een prachtige fractaal.
"Het mooie hiervan is dat er een direct verband is tussen een vorm en een mechanisme dat die vorm veroorzaakt. Daarnaast zijn er duidelijke praktische implicaties. In de chemische industrie zitten katalysatoren vaak aan oppervlakten vast, en de fractale structuur van die oppervlakten, de mate van vertakking, is van invloed op de reactiesnelheid. Een andere toepassing is die op stof en roet. Wanneer kleine hete deeltjes door een schoorsteen omhoog gaan koelen ze af en klitten ze aan elkaar. Het roet dat zo de schoorsteenpijp verlaat is vaak schadelijk voor mensen omdat het in de longblaasjes blijft vastzitten.
"Als we de roetdeeltjes gladder zouden kunnen maken door de omstandigheden in de schoorsteen een beetje te wijzigen zouden we dus de gezondheid van de bevolking kunnen verbeteren. Tot mijn verbazing kreeg ik een paar jaar geleden een erelidmaatschap van een Canadese vakbond van hoogovenpersoneel voor deze toepassing van mijn theorie. Daaruit blijkt dus dat de vakbondsleden vinden dat hun lichamelijk welzijn afhangt van een wiskundige theorie."
Maar er is meer dan turbulentie en samenklontering alleen: fractale processen komen overal in de natuur voor. Verspreidingsprocessen geven vaak aanleiding tot gelijksoortige vormen als aggregatie. Bliksemschichten zien er hetzelfde uit als afzettingen van zink op elektroden. Zelfs de verspreiding van epidemieën als AIDS blijkt hetzelfde patroon te hebben. Een infectiehaard breidt zich niet concentrisch uit zoals naïeve modellen aannemen, maar via grillige fractale vertakkingen die schaal-invariant zijn. Per stadswijk zie je hetzelfde patroon als per provincie, en per provincie hetzelfde als per land. Zelfs de structuur van het universum zelf is mogelijk fractaal. De verdeling van de sterrenstelsels in het heelal is niet gelijkmatig: ze vormen een soort rafelige kosmische keukenspons.
Met de fractalentheorie kan men ook `creëren': de volstrekt levensechte landschappen van de manen van de planeet Endor in de film The return of the Jedi kwamen bijvoorbeeld rechtstreeks uit een computer, die overigens ook heel gemakkelijk planten en bomen voortbrengt.
Zoals je kunstmatig landschappen kan maken met fractalen, zo kun je werkelijke landschappen misschien terugbrengen tot fractalen. Dit proces heet gegevensreductie en staat op het moment in het middelpunt van de belangstelling. Langs deze weg hoopt men het overseinen van televisiebeelden en andere informatie veel efficiënter te maken, wat bijvoorbeeld van groot belang zou zijn voor de ruimtereis naar Mars. Mandelbrot staat hier zelf echter wat sceptisch tegenover: "Ik ben weliswaar onder de indruk van demonstraties met specifieke gegevensreductie, maar ik twijfel aan de mogelijkheid van systematische reductie. Want welke criteria moet je kiezen? De kans is niet denkbeeldig dat je juist het interessantste wegcomprimeert. Ik zou niet graag zien dat alle boeken en foto's op deze manier zouden worden ingedikt!"
De meest perfecte toepassing van de fractalentheorie komt volgens Mandelbrot in de studie van percolatie voor. "Percolatie kent iedereen die wel eens zo'n pruttelkoffiepot heeft gezien. De natuurkunde van percolatie is vrijwel geheel bekend. Alles in de percolatietheorie blijkt fractaal te zijn."
Vanuit economisch oogpunt is de studie van de zogeheten vingervorming in vloeistoffen wellicht het belangrijkste. Mandelbrot: "Het is vaak een groot probleem om een olieveld tot op de laatste druppel, leeg te maken. Doorgaans spuit men water onder hoge druk in om de olie naar boven te drukken en zo te concentreren. Maar deze methode is helaas weinig efficiënt. Het water verspreidt zich niet bolvormig vanuit het midden, maar vormt vingervormige vertakkingen in de olie. Daardoor wordt niet alle olie weggedrukt. De verspreiding van het water is van fractale aard, net als bij samenklontering. Oliemaatschappijen hebben er veel belang bij om de vingervorming te beperken en steken daarom veel geld in fractalenonderzoek. Dit onderzoek gebeurt vooral in Noorwegen, waar de oliemaatschappijen beter naar de wetenschap luisteren dan in Amerika."
De fractalen in de natuur zijn wiskundig gezien nooit perfect. Immers, wiskundige fractalen herhalen zich tot in het oneindige, terwijl het heelal een eindige grootte heeft en de materie niet onbeperkt deelbaar is. Volgens Mandelbrot staat dit de toepasbaarheid van zijn theorie niet in de weg.
Mandelbrot: "Hetzelfde bezwaar geldt voor de meetkunde in het algemeen. In de natuur is nergens pure geometrie te vinden. Wanneer je een stukje werkelijkheid weergeeft als een cirkel of een rechte lijn dan is dat ook maar een benadering. Vanaf de tribune van een voetbalstadium is de middellijn van een voetbalveld kaarsrecht, maat als je er met je neus bovenop staat is het grillige strook witgeschilderde grassprieten. Als je nog verder inzoomt kom je terecht bij de atomen. Dit probleem is dus niet specifiek voor fractalen."
De minst exacte voorbeelden van fractalen in de natuur zijn waarschijnlijk die in de biologie. Fraaie voorbeelden vindt men in de bouw van de longen en het bloedvatstelsel. Mandelbrot: "De long is qua vertakkingen de meest perfecte fractaal in het menselijk lichaam. Hij vertakt zich wel 23 keer. Bij de laatste drie vertakkingen naar de longblaasjes veranderen de regels weliswaar, maar voor de eerste 20 zijn ze uniform.
"We weten nu dat fractalen ons eigen vlees en bloed zijn. Dat is een contact tussen het abstracte denken en onszelf. Helaas is er nog geen uitgewerkte theorie van de groei van organen gebaseerd op fractalen. Maar aangezien fractale structuren in de levenloze natuur vaak ook voortkomen uit een groeiproces en we daarvoor al wel verklaringen hebben, kunnen we zo'n theorie redelijkerwijs wel verwachten.
"In ieder geval is duidelijk dat de instructies in het DNA heel algemeen meen moeten zijn. Beschouw de Mandelbrot-verzameling als een analogie. Het plaatje ervan lijkt enigszins op een schildpad. Door een parameter wat te veranderen verandert de globale vorm. Niet een uitsteeksel verandert, maar alle. Ze kunnen bijvoorbeeld veel scherper worden. Zo is het ook met het DNA in een echte schildpad: een kleine verandering kan een grote globale verandering teweegbrengen. Je hebt maar heel weinig parameters nodig om een veelheid aan vormen te bepalen."
Fractalen zijn vaak heel mooi. Waardoor komt dat? Volgens Mandelbrot doordat grote structuren daarin samengaan met kleine details. Hij denkt hierin een algemeen esthetisch principe te hebben gevonden. Mandelbrot: "Er is een groot verschil tussen schilderijen die rijk zijn aan details, zoals de Hollandse meesters uit de zeventiende eeuw, en kale composities zoals die van Mondriaan. Het evenwicht tussen groot en klein bepaalt de schoonheid.
"Ik bezocht laatst een tentoonstelling met moderne schilderijen die ik bijna allemaal afstotelijk vond. Van een afstand zag ik opeens een schilderij waarvan de juiste balans me trof. Toen ik dichterbij kwam bleek het een Jackson Pollock te zijn. Ik houd niet speciaal van Pollock, maar hij was de enige die de juiste balans had gevonden."
Overeenkomstige opmerkingen gelden volgens Mandelbrot voor de muziek en de architectuur. "In New York zie je steeds meer decoratie op de wolkenkrabbers om de agressieve rechthoekigheid te vermijden. Dat juich ik toe. Bij goede stadsplanning zijn fractalizers nodig. Bomen zijn prachtige fractalizers. Sommige groeien hard, andere worden dik, er is veel verscheidenheid. Als ik volgende week uw land bezoek zal ik daar op terugkomen. Ik zal wat stekelige opmerkingen maken over de Nederlandse polders, want die zijn me veel te vlak en eentonig."
Symposium en tentoonstelling `Fractals & Computed Art', georganiseerd ter gelegenheid van het 140-jarig bestaan van het Delftsch Studenten Corps. TU Delft, Aula, 1 juli, aanvang 9.30 uur. Inl.: 015-126765 of 015-145703.
Benoît Mandelbrot werd in 1924 in Warschau geboren als telg uit een Litouwse Joodse familie. Op twaalfjarige leeftijd reisde het gezin Mandelbrot naar Parijs, waar zijn oom Szolem een vooraanstaand wiskundige was. Lange tijd ging hij niet naar school. Naar zijn zeggen heeft hij het alfabet nooit geleerd en is hij nooit verder gekomen dan de tafel van vijf. Toen de oorlog uitbrak vluchtte de familie naar Tulle in midden-Frankrijk, waar Benoît onderricht kreeg van geleerden die daar eveneens gestrand waren. In 1944 deed hij toelatingsexamen bij de prestigieuze EcoIe Normale Supérieure en de Ecole Polytechnique. Dankzij zijn grote meetkundige inzicht haalde hij de hoogste cijfers. Hij vertaalde de algebraïsche vraagstukken in meetkundige, waarna bij de oplossing meteen zag.
Mandelbrot had weinig op met de formalistische Franse wiskunde van die tijd. In de prullenbak van zijn oom vond hij een boekrecensie die hem het onderwerp aan de hand deed van zijn doctoraalthese ut 1952: de wet van Zipf uit de taalkunde. Mandelbrot hoopte de `Kepler van de wiskundige linguïstiek' te worden door de wetten van de statistische thermodynamica toe te passen op de taal. Van 1953 tot 1958 zwierf hij langs een groot aantal instituten in Europa en de Verenigde Staten. Daarna trad hij in dienst bij het laboratorium van IBM in Yorktown Heights, waar hij al zijn uiteenlopende belangstellingen kon botvieren: "Ik genoot daar een vrijheid die ik bij geen enkele universiteit had kunnen krijgen."
Zijn onderzoek varieerde van de economie tot de warmteleer. Uiteindelijk leidden zijn verbrokkelde activiteiten tot de theorie van de fractalen. Dat woord, afgeleid van het latijnse woord voor breuk, bedacht hij op een winterse middag in 1975. In hetzelfde jaar verscheen zijn boek Les objets fractals: forme, hasard et dimension, dat twee jaar later in het Engels werd vertaald. In tegenstelling tot de meeste andere wiskundigen deed Mandelbrot zijn vruchtbaarste werk na zijn vijftigste.
Terugblikkend op zijn loopbaan zegt Mandelbrot: "Ik ben begonnen met de allerzachtste vakken, de taalkunde en de economie, maar daar was ik al snel op uitgekeken. Zo ben ik in steeds hardere vakken terechtgekomen. Het mooie aan mijn fractalentheorie vind ik dat het zoveel wetenschappelijke disciplines verbindt. De meeste mensen geven daar niets om, maar voor mij is dat heel belangrijk. In welk ander beroep zou ik met zoveel verschillende mensen in contact zijn gekomen?"
1. De `zee van Mandelbrot': driedimensionale weergave van de Mandelbrot-fractal.
2. Schematische weergave van een kustlijn: de fractale zigzagcurve van Koch. De inhammen en uitsteeksels zetten zich tot in het oneindige voort, zodat de kust in totaal oneindig lang is.
3. Fractale vormen in de natuur. Linksboven: zinkafzetting in een galvanisch element als gevolg van aggregatie. Rechtsboven: de vingervormige uitstulpingen van een luchtbel in glycerine. Het gaat hier om een heel ander proces dan aggregatie, maar de vormen zijn overeenkomstig. Linksonder: elektrische ontlading in koolstof. Deze zogeheten Lichtenbergfiguur geeft opnieuw hetzelfde patroon te zien. Rechtsonder: computersimulatie van fractale aggregatie.
4. Benoît Mandelbrot.
Interview afgenomen in Bonn, uitgeschreven in Amsterdam.
Previous | Up | Next
gjclokhorst@gmail.com || July 17, 2015 || HTML 4.01 Strict