"Laat niemand die geen wiskundige is mijn werk lezen", zo luiden de eerste woorden van Leonardo da Vinci's Trattato della Pittura. Uit Hans Lauweriers nieuwe boek, de opvolger van zijn succesvolle Fractals, blijkt dat kennis van de wiskunde niet nodig is om kunst te maken, maar dat een dergelijke kennis wel tot een grotere appreciatie van het waargenomene kan leiden.G.J.C. Lokhorst. Recensie van H. Lauwerier, Symmetrie: regelmatige structuren in de kunst. NRC Handelsblad, Bijlage Wetenschap en Onderwijs, p. 4, June 14, 1988. ISSN 0002-5259.
Neem bijvoorbeeld de grafschilderingen van de Egyptenaren. Op het eerste gezicht zijn ze alleen maar mooi, maar er zit meer achter. In 1923 schreef de wiskundige en natuurfilosoof Andreas Speiser een leerboek over de wiskundige groepentheorie, een vak dat vooral in de kristallografie wordt toegepast; de grote verscheidenheid aan kristalvormen blijkt opgedeeld te kunnen worden in 230 soorten. In zijn boek analyseerde Speiser de grafschilderingen op dezelfde manier als een kristallograaf tweedimensionale kristallen zou beschouwen, gesteld dat die bestonden. Hij kwam tot de verrassende conclusie dat er precies zeventien typen moesten zijn en dat de Egyptenaren, die weinig wiskundige kennis hadden, erin geslaagd waren ze alle zeventien daadwerkelijk te realiseren.
Vooral de min of meer abstracte decoratieve kunst zoals die vanaf de prehistorie is gemaakt wordt aanzienlijk interessanter als men ze vanuit wiskundig standpunt bekijkt. De Moorse kunst en de werken van de twee kunstenaars die daar in onze eeuw een diepgaande studie van maakten en haar op hun eigen manier voortzetten, Hans Hinterreiter en onze eigen M.C. Escher, staan misschien het hoogst als het op de wiskundige inhoud aankomt. Dergelijke kunst kan dan ook op de computer worden nagemaakt: net zoals in zijn Fractals heeft Lauwerier diverse computerprogramma's opgenomen, die ons ditmaal in staat stellen om plaatjes te maken die lijken op de moskeeramen en tegelpatronen in Kaïro en op de in elkaar verstrengelde hagedissen van Escher.
De wiskunde in Symmetrie is minder moeilijk dan in Fractals. Zelfs leken doen soms nog ontdekkingen op dit gebied. Dit blijkt wel uit de smakelijke geschiedenis van de manieren om vlakken met tegelpatronen te vullen, een onderwerp waar een gigantische literatuur, ja zelfs een heuse encyclopedie, over bestaat. Het eerste belangrijke resultaat werd bereikt door Johannes Kepler, die in zijn De Harmonice Mundi (1619) bewees dat er precies elf manieren zijn om een vlak met regelmatige veelvlakken te betegelen. Gek genoeg raakte Keplers werk op dit gebied overigens prompt in de vergetelheid. Het werd pas in het begin van deze eeuw herontdekt.
Had Kepler het probleem van de vlakvulling met regelmatige veelhoeken hiermee opgelost, het bleek veel moeilijker te zijn om een oplossing te vinden voor het geval van willekeurige veelhoeken. Euler bewees dat het onmogelijk is om een vlak te vullen met complexe veelhoeken die meer dan zes zijden hebben. Dat het met minder dan vijf zijden gaat was onmiddellijk duidelijk. Wat overbleef was het geval van vijf en zes zijden. Dit was zó moeilijk dat Hilbert het in 1900 presenteerde als een van zijn beroemde 23 uitdagingen voor de toekomstige wiskundigen. In 1918 loste een leerling van Hilbert het geval van de zeshoeken in zijn proefschrift op. Maar de vijfhoeken waren ook voor hem een te harde noot. Hij vond vijf manieren om het vlak met dezelfde convexe vijfhoeken te overdekken, maar kon niet bewijzen dat dat de enige mogelijkheden waren.
Na vijfendertig jaar met het probleem bezig te zijn geweest, vond de wiskundige H. Kershner in 1969 nog drie mogelijkheden. In het artikel waarin hij zijn ontdekkingen wereldkundig maakte zei hij dat hij dacht dat de mogelijkheden daarmee waren uitgeput, maar dat het bewijs voor dat vermoeden zo lang zou zijn dat het alleen in een boek zou passen. Martin Gardner bracht het probleem in de openbaarheid in zijn Scientific American column van juli 1975. Richard James III las het artikel en was zo gefascineerd dat hij halverwege ophield om vervolgens op eigen kracht verder te komen. Tot zijn verrassing ontdekte hij nog een negende patroon: Kershners bewijs klopte kennelijk niet. Gardner publiceerde de nieuwe variant in zijn column van december.
Dit artikel nu kwam onder ogen van Marjorie Rice, een huisvrouw in San Diego. Niet gehinderd door geleerde kennis begon ze het probleem systematisch te onderzoeken en, o wonder, in februari 1976 vond ze een onbekende tiende variant. Eind 1977 had ze er zelfs nog vier mogelijkheden bijgevonden! Net zoals Escher vulde ze haar ontwerpen op met kleurige vissen, bijen en bloemen. En daarmee houdt het verhaal op: niemand weet op het moment of er nog meer pentagonale vlakverdelingen zijn.
Wie hierdoor wordt gestimuleerd moet het boek van Lauwerier lezen, dat zeker niet het eerste, degelijkste of dikste op dit gebied is, maar waarschijnlijk wel het lichtst verteerbare.
Previous | Up | Next
gjclokhorst@gmail.com || July 17, 2015 || HTML 4.01 Strict